二分

二分的本质不是单调性。有单调性的题目一定可以二分，可以二分的题目不一定必须有单调性。

1. 整数二分

1.1 主要思想

在一个区间内部，使用二分的方法得到答案。每次选择答案所在的区间进行二分，且每次都能保证区间内有答案。对于有解的问题，二分得到的是正确答案；对于无解的题目，二分得到的是答案应该存在的位置。

1.2 整数二分的实现过程

1. 找一个中间值，即mid = (l + r) / 2
2. （假设判断的是红色的性质）每次判断一下中间值是否满足性质，即if(check(mid))
   • 情况一：true
     • 说明mid满足该性质，因此ans所在区间为[mid, r]
     • 更新方式：l = mid
   • 情况二：false
     • 说明mid不满足该性质，因此ans所在区间为[l, mid - 1]
     • 更新方式：r = mid - 1
3. （假设判断的是绿色的性质）每次判断一下中间值是否满足性质，即if(check(mid))
   • 情况一：true
     • 说明mid满足该性质，因此ans所在区间为[l, mid]
     • 更新方式：r = mid
   • 情况二：false
     • 说明mid不满足该性质，因此ans所在区间为[mid + 1, r]
     • 更新方式：l = mid + 1

中间值“是否+1”的问题

如果mid = (l + r) / 2，当l = r - 1时，求得mid的值为l，倘若此时check()正好取得true，则会执行l = mid，即l更新后的值还是l，就会陷入死循环状态。

1.3 模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r) {
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r) {
    while (l < r) {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

2. 浮点数二分

2.1 浮点数二分的实现过程

由于浮点数除法的结果仍然是浮点数，是保留精度的，其与整数除法的整除存在一定的差异。因此，浮点数二分不用考虑边界问题，其能够准确的把两个区间分为两部分。

2.2 模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)		// 注意是大-小, 或者直接用abs()函数取绝对值
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

经验：如果题目要求保留4位小数，则r-l应该小于1e-6；如果题目要求保留5位小数，则r-l应该小于1e-7；如果题目要求保留6位小数，则r-l应该小于1e-8。